بحثی بر یک گزاره - ۲

 * دیشب با آرزو بحث رسید به اون پست و من نظرش رو پرسیدم و اون گفت: «هیچ غیرممکنی وجود نداره!» و من گفتم که این منجر به پارادوکس راسل میشه و آرزو خواست که در موردش توضیح بدم، این پست به این علت شکل گرفته. احتمالا این پست یه پست نسبتا تخصصی خواهد بود و خوندنش نیاز به حوصله خواهد داشت ؛)

 * الان که دارم به آخراش میرسم می‌بینم این بیشتر به فلسفه نزدیک میشه تا بخواد یه چیز منطقی محض باشه!

 * اجازه بدین اول چندتا تعریف داشته باشیم: «گزاره جمله‌ای خبری است که یا راست است و یا دروغ، اگرچه راست بودن یا دروغ بودن آن بر ما مشخص نباشد.»، مثلا «ماست سیاه است.» و یا «دکتر خودم دانشجوی رشته‌ی ریاضی است.» که در اینجا گزاره‌ی «ماست سیاه است.» ارزش دروغ داره و گزاره‌ی دومی ارزش راست و یا گزاره‌ای مثل «جهان انتها ندارد.» که ما نمیدونیم راست هست و یا دروغ، ولی ساختار یک جمله‌ی خبری رو داره و چیزی که مطمئنیم اینه که یا جهان انتها داره و گزاره در نتیجه دارای ارزش دروغ خواهد بود و یا جهان انتها نداره و گزاره راست خواهد بود.

 * بعد اینکه موجودی رو تعریف می‌کنیم به اسم گزاره‌نما. «گزاره‌نما یعنی عبارتی شامل یک یا چند متغیر فردی که با تغییر یکنواخت آنها به اسامی خاص مناسب، عبارت اولیه تبدیل به یک گزاره گردد.»، منظور از متغیر فردی یعنی موجود ناشناس مثل x یا ج که به خودی ِ خود معنای خاصی ندارن. اسم خاص یعنی «کلمه یا عبارتی که بر فرد خاصی دلالت میکنه» یا «ترکیبی از کلمات یا علامات که فردی رو مشخص میکنه». مثلا «سعدی» یه اسم ِ خاص بنا بر اون بخش اوله یا «پدر ِ سعدی» اسم ِ خاص هست از نظر تعریف دومی. تبدیل یکنواخت متغیرهای فردی به اسامی خاص هم یعنی هر جا در اون گزاره‌نما که مثلا متغیر x هست به جاش اسم خاص موردنظرمون رو بذاریم و برای هر متغیر این کار رو انجام بدیم؛ مثلا «x فرد است.» یه گزاره‌نماست، چون به به صورت جمله‌ی خبری اومده و ساختارش مثل یه گزاره‌ست و اگه به جای x هر عدد دلخواه (مثلا ۵ یا ۲ یا ۹۳۴) بذاریم تبدیل میشه به یه گزاره.

 * حالا پارادوکس چیه؟ به بیان غیردقیق: «وقتی که چند عبارت به عنوان موارد پذیرفته بیان شه و بشه از اونا دو نتیجه بدست آورد که با هم ناسازگار باشند می‌گیم یه پارادوکس یا متناقض‌نما رخ داده»، مثلا قطعه زیر رو در نظر بگیرید:

۱) من هیچ وقت موادی که از شیر حاصل می‌شود را نمی‌خورم.
۲) من به سلامتی خودم اهمیت می‌دهم.
۳) برای حفظ سلامتی خوردن مواد لبنی واجب است.
۴) پس من مواد لبنی میخورم.

که به وضوح ۴ با ۱ تناقض داره، حالا کاری نداریم که این عبارت و نتیجه‌ی گرفته‌شده درست هست یا نه، فقط خواستم معنای اینکه عبارات با هم ناسازگار باشند رو بیان کنم.

 * به بیان دقیق، پارادوکس یعنی: «عبارتی که به همراه باور عمومی یا منطق یک نتیجه‌ی متناقض تولید کند.».

 * بعضا بعضیا به جای پارادوکس یا متناقض‌نما میگن تناقض، مثلا تناقض راسل، این غلطه، تناقض یعنی یک گزاره‌ی همیشه دروغ ولی متناقض‌نما به اون گزاره‌نمایی میگن که اون گزاره‌ی متناقض رو تولید کرده.

 * خب پارادوکس راسل میاد میگه «اصل شهودی تجرید» در نظریه‌ی مجموعه‌ها یه گزاره‌ی خود متناقضه! خودمتناقض به این معنی که اگه قبولش کنیم، میتونیم نتیجه‌ای ازش بدست بیاریم که باهاش در تناقض باشه! اصل شهودی تجرید میاد میگه: «هر گزاره‌نما یک مجموعه تعریف می‌کند و هر مجموعه یک گزاره‌نما را نشان می‌دهد.»، یعنی با داشتن یه مجموعه میتونیم یه گزاره‌نما بدست بیاریم و همینطور با داشتن یه گزاره‌نما میتونیم یه مجموعه بسازیم.

 * مثلا اصل شهوی تجرید میاد میگه گزاره‌نمای «x فرد است.» مجموعه‌ی ۱، ۳، ۵، ۷ و تا آخر رو میسازه و بالعکس. البته اینجا یه اشتباه تعمدی کوچیک انجام دادم و اون این بود که نقش متغیر آزاد رو ندیده گرفتم :دی

 * و حالا تناقض راسل؛ این مجموعه رو در نظر بگیرید: یعنی گردایه‌ی همه‌ی مجموعه‌هایی که اونها متعلق به خودشون نیستن (آدم باید خیلی داغون باشه‌ها که این مجموعه به ذهنش برسه :)) بنده‌خدا راسل :دی)، تناقض در پاسخ به این سوال پیش میاد که «آیا A به خودش تعلق دارد ()؟». اگه جواب بدیم که آره تعلق داره (یعنی )، بنابر تعریف اون مجموعه پس و اگه بگیم نه تعلق نداره (یعنی )، پس باز طبق تعریف مجموعه که در هر صورت تناقض هستش، در حقیقت ما این نتیجه رو گرفتیم:

 * و اما گزاره‌ای که آرزو گفته بود: «هیچ غیرممکنی وجود ندارد.»، برداشت من از غیرممکن نبودن اینه که اگه شرایطش وجود داشته باشه، اون چیز ممکن خواهد شد و به وجود خواهد آمد.
 * یه گزاره‌نما به این صورت در نظر می‌گیرم: «x ممکن است.» و اسم این گزاره‌نما رو میذاریم ، یعنی اگه بنویسم معنیش این میشه که «d ممکن است.». یک مجموعه رو به این صورت تعریف می‌کنیم: ، یعنی A گردایه‌ی همه‌ی چیزهایی میشه که ممکن هستند. رو به صورت «A غیرممکن است.» در نظر می‌گیرم. آیا ؟ اگر آره پس غیرممکن بودن ِ A ممکن است، پس A تهی است، پس (تهی بودن مجموعه‌ی تعریف شده بر اساس گزاره‌نما، یعنی اسم خاصی نیست که آن گزاره‌نما را تبدیل به گزاره کند. یعنی آن گزاره‌نما غیرممکن است و بالعکس)، اگر نه پس و این یعنی غیرممکن است که A غیرممکن باشد، پس A ممکن خواهد بود، پس . بنابراین و این تناقض است!
 * خب مشکل از کجاست؟ اینجا که میاد سور عمومی رو به صورت آزاد به کار میبره! نمیشه همینطور گفت: «هیچ چیز»، «هر چیز»، «همه»، «هیچ کسی» و … . باید سور رو محدود به یه مجموعه دلخواه کرد، مثلا هیچ غیرممکنی در فیزیک وجود ندارد. این «در فیزیک» مهمه! البته چون ما به صورت پیش‌فرض در گفتارهای روزانه با پیش‌ذهن‌ها نتیجه میگیریم و عالم سخن رو تشخیص میدیم، شاید به این نکته توجه نکرده باشیم. (من از سوم دبیرستان با این همه گفتن‌ها مشکل داشتم :)) میگفتن هر چی بیشتر بهتر و من برام سوال میشد که چرا هر چی جسارتا، معذرت میخوام، فاضلاب بیشتر باشه اینا خوششون نمیاد، مگه نمیگن هر چی بیشتر بهتر؟ :دی تا اینکه بعدها عادت کردم مجموعه‌ی مورد بحث یا عالم سخن رو خودم درک کنم و کل عالم هستی در نظر نگیرم :دی).
 * اصل شهودی ِ تجرید ِ اصلاح‌شده با محدود کردن عالم سخن رو، اصل تصریح تسرملو میگن.

 * سر اون پاراگراف استدلاله حدود ۵ ساعت فکر کردم :)) چندین بار نوشتم و خودم دیدم اشتباه نوشتم و باز پاک کردم :)) داغون! یه وعضی! :)) اگه این یکی هم اشتباهه بگید دیگه کلا بی‌خیال درس‌خوندن شم و برم کاری متناسب با استعدادم پیدا کنم :)).