اصل انتخاب

 * فرض کنید که شما به میدون تره‌بار میرید و به شما میگن که از بین همه‌ی جعبه‌ی میوه‌ها و سبزیجاتی که هست، سبد خودتون رو پر کنید، به طوریکه از هر جعبه، یه دونه از محتویات برا سبد خودتون برداشته باشید. به نظر میاد که این کار خیلی بدیهی و ساده باشه، خب از اول میدون شروع می‌کنیم و از هر جعبه یه دونه میذاریم تو سبدمون و این کار رو ادامه میدیم تا به آخر میدون تره‌بار برسیم. ولی آیا همیشه این کار به همین آسونی‌ه؟

---

 

 * اجازه بدین کمی ریاضی‌وار به مساله نگاه کنیم. یه مجموعه یا تهی هست و یا نیست، اگر تهی نباشه پس بنابر تعریف میشه از اون عنصری رو انتخاب کرد، به همین صورت، بنا به تعریف ضرب دکارتی^۱ دو مجموعه، اگر هر دو مجموعه تهی نباشند، تهی نخواهد بود. با کمک و استفاده از استقرا، برای هر تعداد متناهی از مجموعه‌های ناتهی، میتونیم ثابت کنیم که حاصلضرب دکارتیشون ناتهی‌ه. ولی چرا این حکم باید برای تعداد نامتناهی برقرار باشه؟

 * با بیان پاراگراف اول، اگر میدون تره‌بار، انتهایی نداشته باشه و فرضا مثل فیلم ماتریکس، از هشت طرفمون گسترش پیدا کنه، چه دلیلی وجود داره که ما بتونیم از هر جعبه، یک نوع در سبد خودمون داشته باشیم؟

 * جواب این سوال، چیزی هست که تسرملو در ۱۹۰۴ تحت یک اصل موضوعه ارائه داد و اون اصل، «اصل انتخاب» نام گرفت: «حاصلضرب ِ دکارتی ِ خانواده‌ی ناتهی از مجموعه‌های ناتهی، ناتهی است.». به عبارت دیگه «اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های ناتهی ِ اندیس‌گذاری شده توسط مجموعه‌ی ناتهی باشد، آنگاه یک خانواده‌ی وجود دارد، به طوریکه برای هر در .

 * ایده‌ی انتخاب ِ واژه‌ی «انتخاب» و یا به عبارتی، وجه تسمیه‌ی «اصل انتخاب»، دقیقا چیزی هست که در پاراگراف اول اومد: «توانایی تشکیل "مجموعه‌ی انتخاب" با انتخاب ِ یک عضو از هر مجموعه‌ی ناتهی، در خانواده‌ی مورد بحث.». ما میتونیم سبدمون -مجموعه‌ی انتخاب- رو با قدم‌زدن در میدون میوه و تره‌بار و انتخاب یک عضو از هر جعبه -مجموعه‌های ناتهی- پُر کنیم. هوم؟

 * اصل انتخاب، فقط وجود ِ مجموعه‌ی انتخاب رو بیان میکنه و راهی در مورد ساختن اون و یا توضیحی در مورد شکل اعضاش ارائه نمیده، به بیان دیگه، در صورتی که راهی برای ساختن یک مجموعه‌ی انتخاب داشته باشیم، حتی نیاز نیست از اصل انتخاب استفاده کنیم و میشه از اون اجتناب کرد. برای روشن شدن این موضوع، راسل مثال می‌زند: «اگر بی‌نهایت جفت کفش داشته باشیم، به راحتی می‌توانیم از هر جفت یکی را به سادگی انتخاب کنیم، مثلا لنگه‌ی چپ را برمیداریم. اصل انتخاب برای کفش‌ها مورد نیاز نیست، ولی برای جوراب‌ها، به اصل انتخاب نیاز داریم.».

 * اصل انتخاب لزوما به همین نازی و نجیبی نیست و ممکن‌ه نتایجی داشته باشه که لزوما برای ما بدیهی نیست . برای مثال گیریم که یک سیب داریم، باناخ-تارکسی در ۱۹۲۴ نشان دادند (و توضیح انگلیسی در اینجا) که با استفاده از اصل انتخاب، می‌توان این سیب را به چند تکه‌ی متناهی تجزیه کرد، و با یک چینش متفاوت، از آن تکه‌ها، دو سیب مثل سیب اول بدست آورد!^۲ :)

 * اصل انتخاب بیان‌های معادل ِ دیگه‌ای هم داره، مثلا «گیریم یک خانواده‌ی ناتهی از مجموعه‌های ناتهی باشد، در اینصورت تابع

به گونه‌ای وجود دارد که برای هر در ، .». در اینجا به  تابع انتخاب میگن. این تعریف هم به این صورت واضح میشه که مجموعه‌ی اندیس‌گزار رو خود ِ مجموعه‌ی در نظر می‌گیریم که با تابع همانی خودش رو اندیس‌گذاری میکنه. در اینصورت اصل انتخاب میگه که حاصلضرب دکارتی مجموعه‌ی حداقل یک عنصر داره. عنصری که با توجه به تعریف ضرب دکارتی، برای هر اندیس، مقداری در اون اندیس داره .

 * تو یکی از امتحانام رسیدم به این نکته که باید «حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های ناتهی، ناتهی باشد.» و چون نتونستم اثبات کنم، هر چی نوشته بودم رو خط زدم^۳ :)).

---

۱. ضرب دکارتی دو مجموعه‌ی A و B به صورت زیر تعریف میشه:

۲.بعد بگید ریاضی کار نداره! بلد نیستی چطور تجارت کنی دوست عزیز! کاربلد باشی، یه دونه سیب رو میکنی دوتا :{.
۳. من صورت دوم از اصل انتخاب -تابع انتخاب- رو میدونستم، ولی راستش نمیدونستم این همون اولی‌ه :دی.
پ.ن: این متن رو با گشتن از نت و کتاب Naive set theory از P.R. Halmos نوشتم.